婺源 江永 撰 律度 既得各律之率即可得各律之長律冇倍有正有半凡三十六律用横黍尺百分者紀其尺寸分釐毫絲忽微纎以為後算周徑幂積張本纎以下略之 倍律通長 黄鍾二尺 大呂一尺八寸八分七釐七毫四絲八忽六微二纎太蔟一尺七寸八分一釐七毫九絲七忽四微三纎夾鍾一尺六寸八分一釐七毫九絲二忽八微三纎姑洗一尺五寸八分七釐四毫○一忽○五纎 仲呂一尺四寸九分八釐三毫○七忽○七纎 蕤賓一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽五微六纎林鍾一尺三寸三分四釐八毫三絲九忽八微五纎夷則一尺二寸五分九釐九毫二絲一忽○四纎南呂一尺一寸八分九釐二毫○七忽一微一纎無射一尺一寸二分二釐四毫六絲二忽○四纎應鍾一尺○五分九釐四毫六絲三忽○九纎 已上諸倍律如欲以次求之則以本律通長為實以十億乘之以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之得次律 正律通長 黄鍾一尺 大呂九寸四分三釐八毫七絲四忽三微一纎 太蔟八寸九分○八毫九絲八忽七微一纎 夾鍾八寸四分○八毫九絲六忽四微一纎 姑洗七寸九分三釐七毫○○五微二纎 仲呂七寸四分九釐一毫五絲三忽五微三纎 蕤賓七寸○七釐一毫○六忽七微八纎 林鍾六寸六分七釐四毫一絲九忽九微二纎 夷則六寸二分九釐九毫六絲 【○】五微二纎 南呂五寸九分四釐六毫○三忽五微五纎 無射五寸六分一釐二毫三絲一忽○二纎 應鍾五寸二分九釐七毫三絲一忽五微四纎 已上諸正律如欲以次求之則以本律通長為實以十億乘之以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之得次律 半律通長 黄鍾五寸 大呂四寸七分一釐九毫三絲七忽一微五纎 太蔟四寸四分五釐四毫四絲九忽三微五纎 夾鍾四寸二分○四毫四絲八忽二微○ 姑洗三寸九分六釐八毫五絲二微六纎 仲呂三寸七分四釐五毫七絲六忽七微六纎 蕤賓三寸五分三釐五毫五絲三忽三微九纎 林鍾三寸三分三釐七毫○九忽九微六纎 夷則三寸一分四釐九毫八絲○二微六纎 南呂二寸九分七釐三毫○一忽七微七纎 無射二寸八分○六毫一絲五忽五微一纎 應鍾二寸六分四釐八毫六絲五忽七微七纎 已上諸半律如欲以次求之則以本律通長為實以十億乘之以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之得次律【應鍾半律以後再如法乘除得二寸五分為黄鍾半律之半】 斜黍尺九寸每寸十分紀其尺寸分釐毫絲忽微纎共二十四律【載堉書止載十二正律今詳倍律蕤賓以後半律仲呂以前旋宫皆用之故共二十四律】 倍律長 蕤賓一尺二寸七分二釐七毫九絲二忽二微 林鍾一尺二寸○一釐三毫五絲五忽八微六纎夷則一尺一寸三分三釐九毫二絲八忽九微四纎南呂一尺○七分○二毫八絲六忽四微 無射一尺○一分○二毫一絲五忽八微四纎 應鍾九寸五分三釐五毫一絲六忽七微八纎 已上諸倍律如欲以次求之則以本律為實以五億乘之以五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之得次律 正律長【附舊律備考】 黄鍾九寸【舊同】 大呂八寸四分九釐四毫八絲六忽八微八纎【舊八寸四分二釐八毫弱】 太蔟八寸○一釐八毫○八忽八微四纎【舊八寸】 夾鍾七寸五分六釐八毫○六忽七微七纎【舊七寸四分九釐二毫弱】 姑洗七寸一分四釐三毫三絲○四微七纎【舊七寸一分一釐一毫強】 仲呂六寸七分四釐二毫三絲八忽一微八纎【舊六寸六分五釐九毫強】 蕤賓六寸三分六釐三毫九絲六忽一微○【舊六寸三分二釐○毫有奇】 林鍾六寸○○六毫七絲七忽九微三纎【舊六寸】 夷則五寸六分六釐九毫六絲四忽四微七纎【舊五寸六分一釐八毫強】 南呂五寸三分五釐一毫四絲三忽二微○【舊五寸三分三釐三毫強】 無射五寸○五釐一毫○七忽九微二纎【舊四寸九分九釐四毫強】應鍾四寸七分六釐七毫五絲八忽三微九纎【舊四寸七分四釐○毫強】 已上諸正律如欲以次求之則以本律為實以五億乘之以五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之得次律 半律長【附舊律備考】 黄鍾四寸五分【舊同】 大呂四寸二分四釐七毫四絲三忽四微四纎【舊四寸二分一釐四毫強】 太蔟四寸○○九毫○四忽四微二纎【舊四寸】 夾鍾三寸七分八釐四毫○三忽三微八纎【舊三寸七分四釐六毫弱】 姑洗三寸五分七釐一毫六絲五忽二微三纎【舊三寸五分五釐五毫強】 仲呂三寸三分七釐一毫一絲九忽○九纎【舊三寸三分二釐九毫強】 已上諸半律如欲以次求之則以本律為實以五億乘之以五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之得次律【諸倍律約十為九正律折半半律又折半得之甚易本不須乘除仍載乘除法者欲見句股乘除開方求出應鍾之率實為真率諸律相求皆以此為根用全用半無往不通也】 縱黍八十一分律依新法算【惟算正律】 黄鍾八寸一分 大呂七寸六分四釐五毫三絲八忽一微九纎 太蔟七寸二分一釐六毫二絲七忽九微六纎 夾鍾六寸八分一釐一毫二絲六忽○九纎 姑洗六寸四分二釐八毫九絲七忽四微二纎 仲呂六寸○六釐八毫一絲四忽三微六纎 蕤賓五寸七分二釐七毫五絲六忽四微九纎 林鍾五寸四分○六毫一絲○一微四纎 夷則五寸一分○二毫六絲八忽○二纎 南呂四寸八分一釐六毫二絲八忽八微八纎 無射四寸五分四釐五毫九絲七忽一微二纎 應鍾四寸二分九釐○八絲二忽五微五纎 諸律如欲以次求之置本律之率以八十一億乘之折半退位為實以五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之得次律 縱黍八十一分作九寸律依新法算 例曰此法每寸九分每分九釐每釐九毫每毫九絲每絲九忽每忽九微每微九纎皆以九為法故與十不同 黄鍾九寸 大呂八寸四分四釐○六絲七忽四微五纎 太蔟八寸○一釐四毫一絲六忽○八纎 夾鍾七寸五分一釐○一絲○七微四纎 姑洗七寸一分二釐五毫四絲二忽 仲呂六寸六分六釐一毫一絲六忽八微一纎 蕤賓六寸三分二釐四毫二絲八忽四微七纎 林鍾六寸○○四毫八絲四忽二微七纎 夷則五寸六分○二毫一絲四忽七微五纎 南呂五寸三分一釐四毫一絲六忽六微三纎 無射五寸○四釐一毫二絲一忽一微五纎 應鍾四寸六分八釐一毫五絲一忽○五纎 黄鍾半律四寸四分四釐四毫四絲四忽四微四纎朱載堉曰約十為九主意蓋為三分損益而設使歸除無不盡數耳夫律呂之理循環無端而杪忽之數歸除不盡此自然之理也因其天生自然不須人力穿鑿以此算律何善如之歷代算律祇欲杪忽除之有盡遂致律呂往而不返此乃顛倒之見非自然之理也是以新法不用三分損益不拘隔八相生然而相生有序循環無端十二律呂一以貫之此蓋二千餘年之所未有自我聖朝始也非學者所宜盡心焉者乎 按古人算律亦非因杪忽欲除盡遂致律呂往而不返也其根源自宫聲八十一徵聲五十四商聲七十二羽聲四十八角聲六十四俱是三分損益之數意其數為天生自然遂以此定律呂之長短不知其數仍有毫釐之差也天地之真數潛隱既久有時而洩故載堉能思得之耳 律體【上】 蔡氏律呂新書曰十二律圍徑自先漢以前傳記竝無明文惟班志云黄鍾八百一十分繇此之義起十二律之周徑然其說乃是以律之長自乘而因之以十蓋配合為說耳未可以為據也惟審度章云一黍之廣度之九十分黄鍾之長一為一分嘉量章則以千二百黍實其龠謹衡權章則以千二百黍為十二銖則是累九十黍以為長積千二百黍以為廣可見也夫長九十黍容千二百黍則空圍當有九方分乃是圍十分三釐八毫徑三分四釐六毫也每一分容十三黍又三分黍之一以九十因之則一千二百也蓋十其廣之分以為長十一其長之分以為廣自然之數也又曰夫律以空圍之同故其長短之異可以定聲之高下孟康不察乃謂凡律圍徑不同各以圍乘長而得此數者蓋未之考也【孟康曰林鍾長六寸圍六分以圍乘長得積三百六十分太蔟長八寸圍八分為積六百四十分】 朱載堉曰舊律圍徑皆同而新律各不同禮記註疏曰凡律空圍九分月令章句曰圍數無增減及隋志安豐王等說皆不足取也故著此論論曰琴瑟不獨徽柱之有遠近而弦亦有巨細焉笙竽不獨管孔之有高低而簧亦有厚薄焉弦之巨細若一但以徽柱遠近别之不可也簧之厚薄若一但以管孔高低别之不可也譬諸律管雖有修短之不齊亦有廣狹之不等先儒以為長短雖異圍徑皆同此未達之論也今若不信以竹或筆管製黄鍾之律一様二枚截其一枚分作兩段全律半律各令一人吹之聲必不同合矣此昭然可驗也又製大呂之律一様二枚周徑與黄鍾同截其一枚分作兩段全律半律各令一人吹之則亦不相合而大呂半律乃與黄鍾全律相合略差不遠是知所謂半律者皆下全律一律矣大抵管長則氣隘隘則雖長而反清管短則氣寛寛則雖短而反濁此自然之理先儒未達也要之長短廣狹皆有一定之理一定之數在焉置黄鍾倍律九而一以為外周用弦求句股術得其内周又置倍律四十而一以為内徑用句股求弦術得其外徑蓋律管兩端形如環田有内外周徑焉外周内容之方即内徑也内周外射之斜即外徑也方圓相容天地之象理數之妙者也黄鍾通長八十一分者内周九分是為八十一中之九即約分法九分中之一也若約黄鍾八十一分作為九寸則其内周當云一寸舊以九十分為黄鍾而云空圍九分者誤也况又穿鑿指為面羃九方分則誤益甚矣按載堉此論亦二千年來所未有者也漢志之說孟康之釋推其誤有數端黄鍾約十為九内周當云一寸而云圍九分其誤一圍九分則徑不及三分徑三分則圍不啻九分而云徑三分圍九分乃徑一圍三之謬法其誤二諸律以長乘者乃是乘黄鍾之面幂退位以為本律之面幂非乘其圍分也而云以圍乘長其誤三既乘得本律之面幂再以本律之長乘之乃得本律之積而云以圍乘長即得積其誤四牽於九六八之數附會天地人其誤五劉歆班固孟康雖有此數誤然猶曰繇此之義起十二律之周徑則十二律各有周徑其說猶近是也迨漢末諸儒鄭氏蔡氏之說出乃斷以為凡律圍九分無增減此說遂牢不可破矣夫使圍徑皆同但以長短别高下則彈琴者惟按徽取聲而七弦之粗細同散聲同可乎不可乎凡圓中容積與方中容積同理試使有方田百畝其方折半則中容必是二十五畝斷非五十畝故黄鍾半律必殺小其圍徑截為兩段則與蕤賓同其容積非半黄鍾矣此理若不抉破後之造律制樂者雖使製得黄鍾真律大呂以下皆非其律况未必真得黄鍾乎人知黄鍾中聲之難求不知大呂以下諸 律正未易製黄鍾大呂惟人所命若舊說不破何以得真黄鍾真大呂哉惟我 聖祖仁皇帝誨諭臣工之學律者特?線與線體與體之比例不同一條正所以破前人圍徑皆同之謬說也其言加減八倍而後應者借立方體積相去八倍言之若律管容積加減四倍即應也載堉云長短廣狹皆有一定之理一定之數此語誠然先儒算學不精格物未至是以前志之猶近是者不能?明後人之立謬說者遂為蔽惑耳 載堉言置黄鍾倍律九而一以為外周用弦求句股術得其内周此算術仍未精密後詳考訂正之算律須求真數不可有毫釐之差也 新書言空圍當有九方分非也昔人明言周言圍不得以周圍為方幂如言方幂則黄鍾不得有九方分新法算黄鍾面幂九分八釐一毫七絲有奇者横黍尺之分釐毫絲也以斜黍九十分者約之只得八分八釐三毫五絲有奇耳其云圍十分三釐八毫徑三分四釐六毫者圍三徑一之謬法也如圍十分三釐八毫則徑只有三分三釐二毫如徑三分四釐六毫則圍有十一分零七毫有奇矣又以徑自乘為方積四分取三為圓積以求合於九方分此又圓田求積之粗率不可用之以算律管也夫徑三分四釐六毫者安定胡瑗之律也因律太短不能容千二百黍故擴其圍徑以就之當時用上黨羊頭山黍以三等篩篩之而取其中則黍亦可遷就矣要之黍非真黍律非真律而算亦非真算蔡氏猶仍其誤豈古人有密率載在史志者竟未嘗深究耶 周徑幂積密率 按平圓周徑幂積可互相求舊云周三徑一又以方積四分之三為圓積皆疎舛之率不可承用者也欲算各律之外周内周外徑内徑及空圍内之面幂實積須求最密之率方凖古之算家祖冲之為最其割圓之法用綴術漸次求之得其周徑之率攷之隋書律志祖氏原有三率一云徑七周二十二者約率也一云徑一百一十三周三百五十五者密率也然約率則強密率猶稍弱仍有最密之率則徑一周三一四一五九二六五是也蓋三一四一五九二七為贏限三一四一五九二六為朒限正數在贏朒二限之間末位約之為五三一四一五九二六五共得九位亦可以為算周徑之用矣周徑相乘得七八五三九八一六二五為平幂或以半徑乘半周亦得平幂此最密之率也試借西人八線表驗之 西人分周天為三百六十度一度又析為六十分是分大圓為二萬一千六百邊也八線各有相當正弦與餘割相乘與半徑全數自乘等積查表一分之餘割線三四三七七四六八二因此求得一分之正弦二九○八八八二○四五○一以二萬一千六百折半為一萬○八百乘之得三一四一五九二六○八六一八正弦是直線圓周是曲線幾與之等而曲者必稍贏是以比圓周稍朒焉故徑一則周三一四一五九二六五為最密之率宜用之 朱載堉密率法云圓周四十容方九句股求弦數可知遂以此為求徑率求周求積亦如之謂圓周四十寸者内容方九寸九寸各自乘併得一百六十二寸開方得斜弦為圓徑也今按此法猶未密正法圓周三一四一五九二六五内容方七○七一○六七八一蓋圓周四十則容方不啻九若容方九則圓周不及四十載堉以此率求諸律周徑幂積惟徑無差若周幂積四位以後稍有嬴餘不得為真數矣數不真確不可載之於書故今依祖氏法推算 先求三十六律通長真數 載堉云黄鍾倍律通長二尺容黍二合稱重二兩律度量衡無非倍者此自然全數也故算法皆從倍律起若夫正律於度雖足於量於衡則皆不足祇容半合祇重半兩比諸倍律似非自然全數故算法不從正律起亦不從半律起倍律正律半律各有十二共為三十六律 按諸律通長已見前篇其以次迭求之法已見第二卷兹不再述 次求三十六律外徑内徑 按載堉之法先求周今易之先求徑六陽律之外内徑有與他律通長相應退一位即得者不必求?一位者十分之一也開列如左 蕤賓正律通長退一位即黄鍾倍律外徑 林鍾正律通長退一位即太蔟倍律外徑 夷則正律通長退一位即姑洗倍律外徑 南呂正律通長退一位即蕤賓倍律外徑 無射正律通長退一位即夷則倍律外徑 應鍾正律通長退一位即無射倍律外徑 黄鍾半律通長退一位即黄鍾倍律内徑正律外徑大呂半律通長退一位即太蔟倍律内徑正律外徑太蔟半律通長退一位即姑洗倍律内徑正律外徑夾鍾半律通長退一位即蕤賓倍律内徑正律外徑姑洗半律通長退一位即夷則倍律内徑正律外徑仲呂半律通長退一位即無射倍律内徑正律外徑蕤賓半律通長退一位即黄鍾正律内徑半律外徑林鍾半律通長退一位即太蔟正律内徑半律外徑夷則半律通長退一位即姑洗正律内徑半律外徑南呂半律通長退一位即蕤賓正律内徑半律外徑無射半律通長退一位即夷則正律内徑半律外徑應鍾半律通長退一位即無射正律内徑半律外徑凡倍律内徑折半即半律内徑 凡六隂呂以陽律之徑分為實以十億乘之以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之即得本呂之徑隂呂求陽律亦倣此十億○二千九百三十萬有奇之數者應鍾倍律外徑五一四六五一一一八三二一七四六○進位倍數也 次求三十六律外周内周 以本律之徑乘三一四一五九二六五以十除之得周 如迭求之以本律之周為實以十億乘之以十億○二千九百三十萬○二千二百三十六除之得次律之周 倍律外周折半即正律内周半律外周 倍律内周正律外周折半即半律内周 次求三十六律面幂 以本律之周徑相乘為實以四歸之或以半周半徑相乘皆得面幂 如迭求之以本律之面幂為實以十億乘之以十億○五千九百四十六萬三千○九十四除之得次律之面幂 倍律面幂折半即正律之面幂正律面幂折半即半律之面幂 置七八五三九八一六二五以四除之得倍律黄鍾面幂各以正律通長乘之得各倍律之面幂 置七八五三九八一六二五以八除之得正律黄鍾面幂各以倍律面幂折半得各正律之面幂 置七八五三九八一六二五以一十六除之得半律黄鍾面幂各以正律面幂折半得各半律之面幂 次求三十六律實積 各律以通長乘本律面幂再以通長乘所得即本律實積 如欲以次求之置本律實積為實以十兆乘之以十一兆二千二百四十六萬二千○四十八億三千○九十三萬七千二百九十八除之得次律實積 倍律實積四歸之得正律實積正律實積四歸之得半律實積 黄鍾倍律面幂進一位即蕤賓倍律之實積倍之即黄鍾倍律之實積 太蔟倍律面幂進一位即林鍾倍律之實積倍之即大呂倍律之實積 姑洗倍律面幂進一位即夷則倍律之實積倍之即太蔟倍律之實積 蕤賓倍律面幂進一位即南呂倍律之實積倍之即夾鍾倍律之實積 夷則倍律面幂進一位即無射倍律之實積倍之即姑洗倍律之實積 無射倍律面幂進一位即應鍾倍律之實積倍之即仲呂倍律之實積 黄鍾正律面幂進一位即黄鍾正律之實積半之即蕤賓正律之實積 太蔟正律面幂進一位即大呂正律之實積半之即林鍾正律之實積 姑洗正律面幂進一位即太蔟正律之實積半之即夷則正律之實積 蕤賓正律面幂進一位即夾鍾正律之實積半之即南呂正律之實積 夷則正律面幂進一位即姑洗正律之實積半之即無射正律之實積 無射正律面幂進一位即仲呂正律之實積半之即應鍾正律之實積 已上諸律有相應處可見一氣貫通之妙載堉未言今推之如此學者宜深玩之 律管長短廣狹自然之理數河圖已顯其象象數篇詳之 律呂闡微卷三 |
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